Avant de commencer

Bienvenue en 4e ! Ce premier chapitre prolonge ce que tu connais déjà sur les fractions (5e) et les décimaux relatifs.

Tu vas apprendre à reconnaître, comparer et calculer avec tous les nombres qui s'écrivent sous forme de fraction : les nombres rationnels.

Lis chaque partie, refais les exemples sur ton cahier sans regarder la correction, puis passe à « S'entraîner ».

1.Qu'est-ce qu'un nombre rationnel ?

Définition

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme ab, où a est un entier relatif et b un entier relatif non nul.

On dit que ab est une écriture fractionnaire de ce nombre : a est le numérateur, b est le dénominateur.

L'ensemble des nombres rationnels se note ℚ.

Les ensembles de nombres

ℕ : les entiers naturels (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …)
ℤ : les entiers relatifs (… ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; …)
𝔻 : les décimaux relatifs (ceux qui s'écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule : −3,25 ; 0,7 …)
ℚ : les rationnels

On a les inclusions : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ.

Exemple 1 — Montrer qu'un nombre est rationnel

Montrer que 5 ; −0,7 et 23 sont des nombres rationnels.

On sait que 5 = 51 : 5 s'écrit sous la forme ab avec a = 5 et b = 1 ≠ 0.

Donc 5 ∈ ℚ.

On sait que −0,7 = −710 avec −7 ∈ ℤ et 10 ≠ 0.

Donc −0,7 ∈ ℚ.

23 est déjà sous la forme ab avec a = 2 et b = 3 ≠ 0.

Donc 23 ∈ ℚ.

Un rationnel n'est pas toujours décimal

23 = 2 ÷ 3 = 0,666… : la division « ne s'arrête jamais ».

Donc 23 ∈ ℚ mais 23 ∉ 𝔻.

Une fraction irréductible ab est un décimal seulement si b n'a pas d'autres facteurs premiers que 2 et 5 (exemple : 720 = 0,35 car 20 = 2 × 2 × 5).

2.Écritures d'un même rationnel

Signe d'une écriture fractionnaire

Pour tous entiers a et b (b ≠ 0) :

−ab = −ab = a−b et −a−b = ab.

On place toujours le signe « − » devant la fraction ou au numérateur : on évite un dénominateur négatif.

Simplifier – amplifier

On ne change pas un rationnel en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre k non nul :

ab = a × kb × k (k ≠ 0).

Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont pas d'autre diviseur commun que 1 (leur PGCD est 1).

Égalité de deux rationnels

ab = cd ⇔ a × d = b × c (avec b ≠ 0 et d ≠ 0) : ce sont les produits en croix.

Exemple 2 — Rendre irréductible

Rendre irréductible A = 84120.

On sait que 84 = 2 × 2 × 3 × 7 et 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5.

Donc le PGCD de 84 et 120 est 2 × 2 × 3 = 12.

Alors A = 84 ÷ 12120 ÷ 12.

D'où A = 710, fraction irréductible.

Exemple 3 — Vérifier une égalité

Les rationnels −614 et 9−21 sont-ils égaux ?

Calculons les produits en croix : (−6) × (−21) = 126 et 14 × 9 = 126.

Or les produits en croix sont égaux.

Donc −614 = 9−21 (les deux valent −37).

3.Opposé et inverse

Opposé

Deux nombres sont opposés quand leur somme est nulle. L'opposé de ab est −ab.

Exemple : l'opposé de 35 est −35 car 35 + (−35) = 0.

Inverse

Deux nombres sont inverses quand leur produit est égal à 1. L'inverse de ab (a ≠ 0, b ≠ 0) est ba.

Exemple : l'inverse de −47 est −74 car (−47) × (−74) = 1.

0 n'a pas d'inverse. L'inverse d'un nombre a le même signe que ce nombre.

Erreurs fréquentes

Confondre opposé et inverse : l'inverse de 3 est 13, pas −3 (−3 est son opposé).
Changer le signe en prenant l'inverse : l'inverse de −25 est −52, et non 52.

4.Addition et soustraction dans ℚ

Règles

Même dénominateur : ab + cb = a + cb et ab − cb = a − cb.

Dénominateurs différents : on réduit d'abord au même dénominateur (de préférence le plus petit multiple commun, le PPCM), puis on applique la règle.

Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé : ab − cd = ab + (−cd).

Méthode pour additionner deux fractions

Simplifier chaque fraction si c'est possible.
Chercher le dénominateur commun (PPCM des dénominateurs).
Transformer chaque fraction (multiplier en haut et en bas par le même nombre).
Ajouter les numérateurs, garder le dénominateur.
Simplifier le résultat : on donne toujours une fraction irréductible.

Exemple 4 — Somme algébrique

Calculer B = 56 − 34 + 13.

On sait que le PPCM de 6 ; 4 et 3 est 12.

Donc 56 = 1012 ; 34 = 912 et 13 = 412.

Alors B = 1012 − 912 + 412 = 10 − 9 + 412.

D'où B = 512.

5.Multiplication et division dans ℚ

Règles

Produit : ab × cd = a × cb × d (on simplifie avant de multiplier).

Quotient : diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse : ab ÷ cd = ab × dc (c ≠ 0).

Règle des signes : un produit (ou un quotient) est positif s'il contient un nombre pair de facteurs négatifs, négatif si ce nombre est impair.

Exemple 5 — Produit avec simplification

Calculer C = −158 × 425.

On sait que le produit contient un seul facteur négatif.

Donc C est négatif.

Alors C = −15 × 48 × 25 = −3 × 5 × 42 × 4 × 5 × 5.

D'où, après simplification par 4 et par 5 : C = −310.

Exemple 6 — Quotient

Calculer D = 79 ÷ (−143).

On sait que diviser par −143 revient à multiplier par son inverse −314.

Donc D = 79 × (−314) = −7 × 39 × 14.

Or 9 = 3 × 3 et 14 = 2 × 7.

D'où D = −13 × 2 = −16.

Exemple 7 — Priorités opératoires

Calculer E = 23 − 54 × 25.

On sait que la multiplication est prioritaire sur la soustraction.

Donc on calcule d'abord 54 × 25 = 1020 = 12.

Alors E = 23 − 12 = 46 − 36.

D'où E = 16.

Exemple 8 — Fraction de fractions

Calculer F = 1 + 121 − 14.

Calculons le numérateur : 1 + 12 = 22 + 12 = 32.

Calculons le dénominateur : 1 − 14 = 44 − 14 = 34.

Donc F = 32 ÷ 34 = 32 × 43.

D'où F = 126 = 2.

Le conseil du prof

Respecte toujours l'ordre : parenthèses, puis puissances, puis × et ÷, enfin + et −. Écris une seule opération par ligne : c'est comme ça qu'on évite les erreurs de signe.

6.Puissances d'un rationnel

Définition

Pour tout rationnel x et tout entier naturel n ≥ 1 : xⁿ = x × x × … × x (n facteurs).

Par convention x⁰ = 1 (x ≠ 0) et x⁻ⁿ = 1xⁿ (x ≠ 0).

Règles de calcul (x ≠ 0, y ≠ 0, m et n entiers relatifs)

Règle	Exemple
x^m × xⁿ = x^{m + n}	2³ × 2⁴ = 2⁷
x^mxⁿ = x^{m − n}	5⁶5² = 5⁴
(x^m)ⁿ = x^{m × n}	(3²)³ = 3⁶
(x × y)ⁿ = xⁿ × yⁿ	(2 × 5)³ = 2³ × 5³
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ	(23)² = 49

Signe d'une puissance

Une puissance d'un nombre négatif est positive si l'exposant est pair, négative si l'exposant est impair.

Exemples : (−2)⁴ = 16 et (−2)³ = −8. Attention : −2⁴ = −16 (le carré ne porte que sur 2).

Exemple 9 — Simplifier une écriture

Écrire G = 2⁵ × 3⁻²2³ × 3⁻⁴ sous la forme 2^p × 3^q.

On sait que x^mxⁿ = x^{m − n}.

Donc 2⁵2³ = 2^{5 − 3} = 2² et 3⁻²3⁻⁴ = 3^{−2 − (−4)} = 3².

D'où G = 2² × 3² (= 36).

7.Comparer des rationnels

Règles de comparaison

Avec le même dénominateur positif, le plus grand rationnel est celui qui a le plus grand numérateur.
Avec le même numérateur positif, le plus grand est celui qui a le plus petit dénominateur positif.
Sinon, on réduit au même dénominateur (ou on compare les produits en croix).
Un nombre négatif est toujours plus petit qu'un nombre positif. Entre deux négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro.

Exemple 10 — Ranger dans l'ordre croissant

Ranger 34 ; 56 ; −23 ; 712.

On sait que −23 est le seul négatif : c'est le plus petit.

Réduisons les positifs au dénominateur 12 : 34 = 912 ; 56 = 1012 ; 712.

Or 7 < 9 < 10.

D'où −23 < 712 < 34 < 56.

Inégalités et opérations

Si a < b, alors a + c < b + c et a − c < b − c (on peut ajouter ou retrancher un même nombre).

Si a < b et c > 0, alors a × c < b × c (le sens se conserve).

Si a < b et c < 0, alors a × c > b × c (le sens change).

8.Valeur absolue

Définition

La valeur absolue d'un nombre x, notée x, est sa distance à zéro. Elle est toujours positive ou nulle.

Si x ≥ 0 alors x = x ; si x ≤ 0 alors x = −x.

Exemple 11 — Calculer avec des valeurs absolues

Calculer −34 et H = 2 − 7 + −5.

On sait que −34 ≤ 0, donc −34 = 34.

Calculons 2 − 7 = −5, donc 2 − 7 = −5 = 5.

D'où H = 5 + 5 = 10.

Distance entre deux nombres

La distance entre deux nombres a et b est a − b (ou b − a).

Exemple : la distance entre −3 et 4 est −3 − 4 = −7 = 7.

9.Valeurs approchées et encadrements

Encadrement

Encadrer un nombre x à 10⁻ⁿ près, c'est trouver deux décimaux a et b tels que a ≤ x ≤ b et b − a = 10⁻ⁿ.

a est la valeur approchée par défaut, b la valeur approchée par excès. L'arrondi est celle des deux qui est la plus proche de x.

Exemple 12 — Encadrer un quotient

Encadrer 57 à 10⁻² près et donner son arrondi.

Calculons 5 ÷ 7 = 0,7142…

Donc 0,71 ≤ 57 ≤ 0,72 : 0,71 par défaut et 0,72 par excès.

Or le chiffre des millièmes est 4 < 5.

D'où l'arrondi à 10⁻² près est 0,71.

Exemple 13 — Encadrer une somme et un produit

On sait que 1,41 < x < 1,42 et 2,23 < y < 2,24. Encadrer x + y et 3x.

On ajoute membre à membre : 1,41 + 2,23 < x + y < 1,42 + 2,24.

Donc 3,64 < x + y < 3,66.

On multiplie par 3 > 0, le sens se conserve : 3 × 1,41 < 3x < 3 × 1,42.

D'où 4,23 < 3x < 4,26.

Erreurs fréquentes

Ajouter les dénominateurs : 12 + 13 ≠ 25. On réduit au même dénominateur : 36 + 26 = 56.
Oublier de changer le sens d'une inégalité quand on multiplie par un nombre négatif.
Ne pas donner le résultat sous forme irréductible.
Écrire −5 = −5 : une valeur absolue n'est jamais négative.

Le conseil du prof

Ce chapitre est la base de toute l'année : équations, inéquations, applications linéaires… utilisent le calcul dans ℚ. Fais au moins 10 exercices dans « S'entraîner » avant le quiz.